2007 juli « Stijn Symens @ Wordpress

31 juli, 2007

IMO en Ceva

Ingedeeld onder: wiskunde — Stijn @ 3:02 pm

Vorige week vond de Internationale Wiskunde Olympiade plaats. 2 dagen 4,5 uur zweten om 3 problemen per dag op te lossen. Ondertussen zijn de niet-evidente problemen en de uitslag op de IMO-site te vinden. Belgie kwam uiteindelijk met 3 bronzen medailles thuis.Enkele weken geleden was ik lesgever op een voorbereidingsstage voor de 3 Vlaamse deelnemers aan deze internationale wedstrijd. Na mijn les dacht ik de studenten te plezieren met een leuk vraagje dat ik enige tijd ervoor had bedacht:

Gegeven een willekeurige driehoek $\triangle ABC$ . Teken op $AB$ de gelijkbenige driehoek $\triangle DAB$ met tophoek in $D$ . Teken vervolgens gelijkbenige driehoeken $\triangle BCE$ resp. $\triangle ACF$ , beide gelijkvormig met $\triangle DAB$ , met tophoeken in $E$ resp. $F$ . Deze 3 nieuwe driehoeken staan allen aan de buitenzijde van de driehoek $\triangle ABC$ . Toon aan dat $AE$ , $BF$ en $CD$ concurrent zijn.

A priori was ik er niet zeker van dat deze eigenschap waar is, maar er is voldoende evidence dat het was moet zijn: noem even $\delta$ de basishoek van de gelijkbenige driehoeken. In het geval $\delta=0^\circ$ zijn de drie lijnen zwaartelijnen en dus concurrent. In het geval dat $\delta=90^\circ$ zijn de drie lijnen hoogtelijnen en dus concurrent. In het geval $\delta=60^\circ$ , zijn de drie lijnen ook concurrent en het snijpunt heet dan het punt van Torricelli (of van Fermat).Een analytisch bewijs is vervelend maar zeker niet onmogelijk. Toch is de drang naar een meetkundig bewijs groot, zeker in olympiademiddens.Het heeft onze Vlaamse kandidaten dan ook niet lang gekost om een mooie oplossing te vinden. Zij maakten gebruik van een stelling die voor mij toch al heel ver in het acherhoofd zat: de trigoniometrische versie van de stelling van Ceva.De gebruikelijke versie van de stelling van Ceva zegt dat in een driehoek $\triangle ABC$ , met ingeschreven driehoek $\triangle LMN$ , de rechten $AL$ , $BM$ en $CN$ concurrent zijn als en slechts als

$\frac{AN}{NB} \cdot \frac{BL}{LC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1.$

De trigoniometrische variant die zegt precies dat $AL$ , $BM$ en $CN$ concurrent zijn als en slechts als

$\frac{\sin\angle BAL}{\sin\angle CAL}\cdot\frac{\sin\angle ACN}{\sin\angle BCN}\cdot\frac{\sin\angle CBM}{\sin\angle ABM}=1.$

Het is precies deze laatste variant die, samen met de sinusregel, zorgt voor een zeer kort bewijs. We verkrijgen immers (met notaties zoals in de eerste figuur) dat

$\frac{\sin(\beta+\delta)}{\sin(\gamma+\delta)}=\frac{\sin\angle BAE}{\sin\angle CAE}$

door gebruik te maken van de sinusregel in driehoek $\triangle ABE$ en in de driehoek $\triangle ACE$ . Passen we dit ook toe vanuit $D$ en $F$ , dan kunnen we de trigonometrische variant van Ceva gebruiken om aan te tonen dat $AE$ , $BF$ en $CD$ concurrent zijn.

Reactie (1)

2 juli, 2007

Smoutebollen op de foor

Ingedeeld onder: familie — Stijn @ 1:09 pm

kermis

Dit weekend was er in Wommelgem een jaarmarkt en een kermis. Veel drukte en plezier en dat hebben Mieke en Lotte geweten. Hun eerste ritje op de draaimolen was een succes. Niet zonder enige trots toont Mieke haar allereerste flosh, die ze tijdens haar tweede ritje gegrepen had. Ook Lotte had zichtbaar plezier!Wat later haalden we smoutebollen bij het Booms frituur, een streling voor de smaakpapillen, en dat als dessert voor ons familie-etentje.

De prijzen waren alsvolgt:
9 voor 4 euro
15 voor 7 euro
20 voor 8 euro
Ik vroeg de uitbater hoeveel smoutebollen ik krijg voor 10 euro. “Dit zijn de prijzen, er wordt niet over gediscuteerd”. Ongetwijfeld hadden al meerdere mensen hem duidelijk gemaakt dat de prijs per stuk voor 15 bollen hoger ligt dan de prijs per stuk voor 9 bollen, dat hij alle discussie uit de weg gaat. Ik heb het hem dan maar niet moeilijk gemaakt en hem voorgesteld 25 bollen te nemen voor 10 euro. Het heeft toch even geduurd alvorens hij inzag dat het voor hem een goeie deal was…

Het heeft in elk geval wel gesmaakt.

Reactie (1)