Lichamentheorie en de laatste stelling van Fermat

8 augustus, 2007

Lichamentheorie en de laatste stelling van Fermat

Gearchiveerd onder: wiskunde — Stijn @ 7:41 pm

Momenteel stel ik de oefeningenexamens op voor de tweede zittijd. Een van de vakken die ik zeer graag begeleid gaat onder andere over Galoistheorie. Mijn vriend en collega Raf Bocklandt kwam met een voorstel voor een examenvraag voor de eerste zittijd in juni. Uiteindelijk is het een bonusvraag geworden. Veel zoekplezier.

Zoek de fout in het volgende foutief bewijs van de laatste stelling van Fermat. Geef ook aan waarom dit foutief is.

De vergelijking
$a^n+b^n=c^n$
heeft geen niet-triviale gehele oplossing als $n > 2$ . (met niet-triviaal bedoelen we $abc \ne 0$ ).

Bewijs.
Het volstaat de stelling te bewijzen voor $n$ een priemgetal en voor $a,b,c \in \mathbb{N}_0$ .

Stel dat $a^p+b^p=c^p$ een niet-triviale oplossing $(a,b,c) \in (\mathbb{N}_0)^3$ heeft, met $p \ne 2$ priem. Neem $(a,b,c)$ de kleinste oplossing die voldoet (kleinste in de zin dat $a+b+c$ zo klein mogelijk moet zijn).

We mogen veronderstellen dat $a$ , $b$ , $c$ geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben (anders delen
we die uit en bekomen we een kleinere oplossing).

We bekijken nu de oplossing modulo $p$ .
Stel $\zeta$ een primitieve $p$ -de machtswortel van $1$ en breid het lichaam $\mathbb{F}_p$ uit met $\zeta$ . In het lichaam $\mathbb{F}_p(\zeta)$ kunnen we de vergelijking herschrijven als
$a^p + (b\zeta)^p = (c\zeta)^p$
We weten dat $.^p: \mathbb{F}_p(\zeta) \to \mathbb{F}_p(\zeta): x \mapsto x^p$ een automorfisme is. We nemen het inverse van dit automorfisme en passen dit toe op de voorgaande vergelijking en we vinden dat
$a + b\zeta = c\zeta.$
Dit wil zeggen dat

Ofwel $\zeta$ een lineair afhankelijk is van $1$ en dus is
$\zeta$ noodzakelijk de tweede machtswortel van $1$ , maar dit kan niet want $p>2$ .

Ofwel is $b-c=a=0 \mod p$ maar dan is analoog ook $a+b=c=0$ via de vgl
$(a \zeta)^p + (b\zeta)^p = c^p$ . Uit die twee vergelijkingen kunnen we afleiden dat $a=b=c=0 \mod p$ en $a$ , $b$ en $c$ zijn dus $p$ -vouden.
Dit laatste is in tegenspraak met het feit dat $a$ , $b$ en $c$ geen gemeenschappelijke factor hebben.

Dit vervolledigt het bewijs.

Tijdens het tweede zit examen mogen de studenten opnieuw een foutief bewijs van de stelling van Fermat verwachten!

Vind ik leuk:
Like
Wees de eerste om post te waarderen.

Geef een reactie

Geef een reactie »

Reageren?

RSS feed voor reacties op dit bericht. TrackBack URI

Geef een reactie Reactie annuleren

Vul je reactie hier in ...

Fill in your details below or click an icon to log in:

E-mail (verplicht) (Address never made public)

Naam (verplicht)

Website

Je reageert onder je WordPress.com account. ( Log Out / Bijwerken )

Je reageert onder je Twitter account. ( Log Out / Bijwerken )

Je reageert onder je Facebook account. ( Log Out / Bijwerken )

Annuleren

Verbinden met %s

Hou me op de hoogte van nieuwe reacties via e-mail.

Stijn Symens @ Wordpress

8 augustus, 2007

Lichamentheorie en de laatste stelling van Fermat

Vind ik leuk:

Geef een reactie »

Geef een reactie Reactie annuleren

Follow “Stijn Symens @ Wordpress”