Lichamentheorie en de laatste stelling van Fermat

Momenteel stel ik de oefeningenexamens op voor de tweede zittijd. Een van de vakken die ik zeer graag begeleid gaat onder andere over Galoistheorie. Mijn vriend en collega Raf Bocklandt kwam met een voorstel voor een examenvraag voor de eerste zittijd in juni. Uiteindelijk is het een bonusvraag geworden. Veel zoekplezier.

Zoek de fout in het volgende foutief bewijs van de laatste stelling van Fermat. Geef ook aan waarom dit foutief is.

De vergelijking

heeft geen niet-triviale gehele oplossing als . (met niet-triviaal bedoelen we ).

Bewijs.
Het volstaat de stelling te bewijzen voor een priemgetal en voor .

Stel dat een niet-triviale oplossing heeft, met priem. Neem de kleinste oplossing die voldoet (kleinste in de zin dat zo klein mogelijk moet zijn).

We mogen veronderstellen dat , , geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben (anders delen
we die uit en bekomen we een kleinere oplossing).

We bekijken nu de oplossing modulo .
Stel een primitieve -de machtswortel van en breid het lichaam uit met . In het lichaam kunnen we de vergelijking herschrijven als

We weten dat een automorfisme is. We nemen het inverse van dit automorfisme en passen dit toe op de voorgaande vergelijking en we vinden dat

Dit wil zeggen dat

• Ofwel een lineair afhankelijk is van en dus is
  $\zeta$ noodzakelijk de tweede machtswortel van , maar dit kan niet want .

• Ofwel is maar dan is analoog ook via de vgl
  . Uit die twee vergelijkingen kunnen we afleiden dat en , en zijn dus -vouden.
  Dit laatste is in tegenspraak met het feit dat , en geen gemeenschappelijke factor hebben.

Dit vervolledigt het bewijs.

Tijdens het tweede zit examen mogen de studenten opnieuw een foutief bewijs van de stelling van Fermat verwachten!